Exercice 7, § 7

Soient $k$ un anneau, $\rho : A \to B$ un homomorphisme de $k$-algèbres, $J$ un idéal de $B$. On dit que $B$, munie de la topologie $J$-adique, est \emph{formellement lisse sur} $A$ \emph{relativement à} $k$ si pour toute $A$-algèbre $C$ (que l’on munit de la topologie discrète) et tout idéal de carré nul $N$ de $C$, tout homomorphisme continu de $A$-algèbres $B \to C/N$, qui se relève en un homomorphisme continu de $A$-algèbres de $B$ dans $C$, se relève aussi en un homomorphisme continu de $A$-algèbres de $B$ dans $C$.

a) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) $B$ est formellement lisse sur $A$ relativement à $k$ pour la topologie $J$-adique ; (ii) pour toute $k$-dérivation $D$ de $A$ dans un $B$-module $E$ annulé par une puissance de $J$, il existe une $k$-dérivation $\tilde{D} : B \to E$ telle que $\tilde{D} \circ \rho = D$ ; (iii) pour tout entier $n \geqslant 0$, l’application canonique $u_n : \Omega_k(A) \otimes_A (B/J^n) \longrightarrow \Omega_k(B) \otimes_B (B/J^n)$ est injective et son image est facteur direct.

b) On suppose $B$ formellement lisse sur $k$ pour la topologie $J$-adique. Prouver que pour que $B$ soit formellement lisse sur $A$, il faut et il suffit que l’homomorphisme canonique $u_1 : \Omega_k(A) \otimes_A (B/J) \to \Omega_k(B) \otimes_B (B/J)$ soit injectif et que son image soit facteur direct (utiliser a) et l’exerc. 6 pour prouver qu’une rétraction de $u_1$ se relève en une rétraction de $u_n$ pour tout $n$).