Bài tập 1, § 10

Cho $X$ là giới hạn trực tiếp của một hệ trực tiếp $(X_i, f_{ji})$ các tập hợp đối với một tập có hướng phải $I$. Gọi $F_i$ (tương ứng $F$) là nhóm tự do được xây dựng trên $X_i$ (tương ứng trên $X$); mỗi $f_{ji}$ mở rộng thành một đồng cấu $\phi_{ji}: F_i \to F_j$.

(a) Chứng minh rằng $(F_i, \phi_{ji})$ là một hệ trực tiếp các nhóm.

(b) Gọi $\varepsilon_i$ là ánh xạ hợp thành $X_i \to F_i \to \lim \overrightarrow{F_i}$. Chứng minh rằng $\varepsilon_j \circ \phi_{ji} = \varepsilon_i$ nếu $j \geq i$. Gọi $\varepsilon$ là ánh xạ từ $X$ vào $\lim \overrightarrow{F_i}$ được xác định bởi các $\varepsilon_i$. Chứng minh rằng $\varepsilon$ mở rộng thành một đẳng cấu từ $F$ lên $\lim \overrightarrow{F_i}$ (để $F(\lim \overrightarrow{X_i})$ có thể được đồng nhất với $\lim \overrightarrow{F(X_i)}$).

(c) Phát biểu và chứng minh các kết quả tương tự đối với các magma tự do, các mônoit tự do, các nhóm giao hoán tự do, các mônoit giao hoán tự do.