Exercice 1, § 10

Soit $X$ la limite inductive d’un système inductif $(X_i, f_{ji})$ d’ensembles relatif à un ensemble filtrant à droite $I$. Soit $F_i$ (resp. $F$) le groupe libre construit sur $X_i$ (resp. sur $X$); chaque $f_{ji}$ se prolonge en un homomorphisme $\varphi_{ji} : F_i \to F_j$. a) Montrer que $(F_i, \varphi_{ji})$ est un système inductif de groupes. b) Soit $\varepsilon_i$ l’application composée $X_i \to F_i \to \lim F_i$. Montrer que $\varepsilon_j \circ f_{ji} = \varepsilon_i$ si $j \geq i$. Soit $\varepsilon$ l’application de $X$ dans $\lim F_i$ définie par les $\varepsilon_i$. Montrer que $\varepsilon$ se prolonge en un isomorphisme de $F$ sur $\lim F_i$ (de sorte que l’on peut identifier $F(\lim X_i)$ à $\lim F(X_i)$). c) Enoncer et démontrer des résultats analogues pour les magmas libres, monoïdes libres, groupes commutatifs libres, monoïdes commutatifs libres.