Bài tập 12, § 4

Cho G là một nhóm sao cho, với một số nguyên cố định $n > 1$, ta có $(xy)^n = x^n y^n$ với mọi $x \in G, y \in G$. Nếu $G^{(n)}$ ký hiệu tập hợp các $x^n$, khi $x$ chạy qua $G$, và $G_{(n)}$ ký hiệu tập hợp các $x \in G$ sao cho $x^n = e$, hãy chứng minh rằng $G^{(n)}$ và $G_{(n)}$ là các nhóm con chuẩn tắc của $G$; nếu $G$ hữu hạn, cấp của $G^{(n)}$ bằng chỉ số của $G_{(n)}$. Hãy chứng minh rằng, với mọi $x, y$ trong $G$, cũng có $x^{1-n} y^{1-n} = (xy)^{1-n}$ và suy ra rằng $x^{n-1} y^n = y^n x^{n-1}$; từ đó kết luận rằng tập hợp các phần tử của $G$ có dạng $x^{n(n-1)}$ sinh ra một nhóm con giao hoán của $G$.