Exercice 12, § 4

Soit G un groupe tel que, pour un entier déterminé $n > 1$, on ait $(xy)^n = x^n y^n$ quels que soient $x \in G, y \in G$. Si $G^{(n)}$ désigne l’ensemble des $x^n$, où $x$ parcourt G, et $G_{(n)}$ l’ensemble des $x \in G$ tels que $x^n = e$, montrer que $G^{(n)}$ et $G_{(n)}$ sont des sous-groupes distingués de G ; si G est fini, l’ordre de $G^{(n)}$ est égal à l’indice de $G_{(n)}$. Montrer que, quels que soient $x, y$ dans G, on a aussi $x^{1-n} y^{1-n} = (xy)^{1-n}$ et en déduire que l’on a $x^{n-1} y^n = y^n x^{n-1}$; conclure de là que l’ensemble des éléments de G de la forme $x^{n(n-1)}$ engendre un sous-groupe commutatif de G.