Bài tập 13, § 4

Cho $G$ là một nhóm. Nếu $S$ là một nhóm đơn, ta nói rằng $S$ xuất hiện trong $G$ nếu tồn tại hai nhóm con $H, H'$ của $G$ với $H$ là một nhóm con chuẩn tắc của $H'$ sao cho $H'/H$ là đẳng cấu với $S$. Ký hiệu $\operatorname{in}(G)$ là tập hợp các lớp đẳng cấu của các nhóm đơn xuất hiện trong $G$. (a) Chứng minh rằng $\operatorname{in}(G) = \varnothing \Leftrightarrow G = \{e\}$. (b) Nếu $H$ là một nhóm con của $G$, chứng minh rằng $\operatorname{in}(H) \subset \operatorname{in}(G)$; nếu hơn nữa $H$ là chuẩn tắc, thì

(c) Cho $G_1$ và $G_2$ là hai nhóm. Chứng minh tính tương đương của hai tính chất sau: (i) $\operatorname{in}(G_1) \cap \operatorname{in}(G_2) = \varnothing$; (ii) Mọi nhóm con của $G_1 \times G_2$ đều có dạng $H_1 \times H_2$ với $H_1 \subset G_1$ và $H_2 \subset G_2$. (Áp dụng Bài tập 8.) Khi $G_1$ và $G_2$ là các nhóm hữu hạn, chứng minh rằng (i) và (ii) tương đương với: (iii) Card($G_1$) và Card($G_2$) là nguyên tố cùng nhau.