Exercice 13, § 4

Soit G un groupe. Si S est un groupe simple, on dit que S intervient dans G s’il existe deux sous-groupes H, H’ de G, tels que H soit sous-groupe distingué de H’, et que H’/H soit isomorphe à S. On note in(G) l’ensemble des classes à isomorphisme près de groupes simples qui interviennent dans G. a) Montrer que $\mathrm{in}(G) = \varnothing \Leftrightarrow G = \{e\}$. b) Si H est un sous-groupe de G, montrer que $\mathrm{in}(H) \subset \mathrm{in}(G)$; si en outre H est distingué, on a

c) Soient $G_1$ et $G_2$ deux groupes. Montrer l’équivalence des deux propriétés suivantes: (i) $\mathrm{in}(G_1) \cap \mathrm{in}(G_2) = \varnothing$; (ii) Tout sous-groupe de $G_1 \times G_2$ est de la forme $H_1 \times H_2$, avec $H_1 \subset G_1$ et $H_2 \subset G_2$. (Utiliser l’exerc. 8 de I, p. 124.) \* Lorsque $G_1$ et $G_2$ sont des groupes finis, montrer que (i) et (ii) sont équivalents à: (iii) Card($G_1$) et Card($G_2$) sont premiers entre eux.*