Bài tập 14, § 4

Cho $G$ là một nhóm và $H$ là một nhóm con của $G$. Mọi tập con $T$ của $G$ gặp mỗi lớp kề trái mod. $H$ tại đúng một điểm được gọi là một hệ đại diện của các lớp kề trái mod. $H$ (xem Lý thuyết tập hợp, II, § 6, no. 2); điều kiện này tương đương với điều kiện sau: Ánh xạ $(x, y) \mapsto xy$ là một song ánh từ $T \times H$ lên $G$. (a) Cho $T$ là một hệ đại diện như vậy; với mọi $g \in G$ và mọi $t \in T$, lấy $x(g, t) \in T$ và $y(g, t) \in H$ sao cho $gt = x(g, t)y(g, t)$. Cho $S$ là một tập con của $G$ sinh ra $G$. Hãy chứng minh rằng các phần tử $y(g, t), g \in S, t \in T$ sinh ra $H$. (Nếu $H'$ ký hiệu nhóm con của $H$ sinh bởi các phần tử này, hãy chứng minh rằng $T.H'$ ổn định đối với các $\gamma_g, g \in S$, do đó cũng ổn định đối với các $\gamma_g, g \in G$, và suy ra $T.H' = G$, do đó $H' = H$.) (b) Giả sử rằng $(G:H)$ là hữu hạn. Hãy chứng minh rằng $G$ có thể được sinh bởi một tập con hữu hạn khi và chỉ khi $H$ có thể.