Exercice 14, § 4

Soient G un groupe, H un sous-groupe de G. On appelle système de représentants des classes à gauche mod. H toute partie T de G qui rencontre toute classe à gauche mod. H en un point et un seul (cf. E, II, p. 42); cette condition équivaut à la suivante: L’application $(x, y) \mapsto xy$ est une bijection de $T \times H$ sur G. a) Soit T un tel système de représentants; pour tout $g \in G$, et tout $t \in T$, soient $x(g, t) \in T$ et $y(g, t) \in H$ tels que $gt = x(g, t)y(g, t)$. Soit S une partie de G engendrant G. Montrer que les éléments $y(g, t)$, pour $g \in S$, $t \in T$, engendrent H. (Si H’ désigne le sous-groupe de H engendré par ces éléments, on montrera que T.H’ est stable par les $\gamma_g$ pour $g \in S$, donc aussi par les $\gamma_g$ pour $g \in G$, et on en déduira que T.H’ = G, d’où H’ = H.) b) On suppose que (G : H) est fini. Montrer que G peut être engendré par une partie finie si et seulement si il en est de même de H.