Bài tập 25, § 4

Cho E là một tập hợp và $f$ là một ánh xạ từ $E^m$ vào E; ta viết

giả sử rằng $f$ thỏa mãn các điều kiện sau:

(1)

đồng nhất; (2) Với mọi $a_1, a_2, \ldots, a_{m-1}$, các ánh xạ

là những song ánh của E lên E.

(a) Chứng minh rằng đồng nhất thức

đúng với mọi chỉ số $i$ sao cho $1 \leq i \leq m-1$ (lập luận bằng quy nạp theo $i$, bằng cách xét phần tử

(b) Với mọi $a_1, a_2, \ldots, a_{m-2}$, tồn tại $u \in E$ sao cho với mọi $x$

(c) Trong tập hợp $E^k$ các dãy $(u_1, u_2, \ldots, u_k)$ gồm $k$ phần tử của $E$ ($1 \leq k \leq m - 1$), xét quan hệ tương đương $R_k$ được phát biểu như sau: với mọi $x_1, x_2, \ldots, x_{m-k}, u_1u_2\ldots u_kx_1x_2\ldots x_{m-k} = v_1v_2\ldots v_kx_1x_2\ldots x_{m-k}$; gọi $E_k$ là tập thương $E^k / R_k$ và $G$ là tập hợp tổng (Lý thuyết tập hợp, II, § 4, no. 8) của $E_1 = E, E_2, \ldots, E_{m-1}$. Cho $\alpha \in E_i, \beta \in E_j$; nếu $(u_1, u_2, \ldots, u_i)$ là một dãy thuộc lớp $\alpha$, $(v_1, \ldots, v_j)$ là một dãy thuộc lớp $\beta$, hãy xét dãy

trong $E^{i+j}$ nếu $i + j < m$, dãy trong $E^{i+j-m+1}$ nếu $i + j \geq m$; chứng minh rằng lớp của dãy này trong $E_{i+j}$ (resp. $E_{i+j-m+1}$) chỉ phụ thuộc vào các lớp $\alpha$ và $\beta$; nó được ký hiệu là $\alpha . \beta$. Chứng minh rằng như vậy xác định được một luật nhóm trên $G$, rằng $H = E_{m-1}$ là một nhóm con chuẩn tắc của $G$ và nhóm thương $G/H$ là cyclic cấp $m - 1$; sau cùng chứng minh rằng $E$ đồng nhất với một lớp (mod. $H$) sinh ra $G/H$ và rằng $x_1 x_2 \ldots x_m$ chỉ là hợp thành, trong nhóm $G$, của dãy $(x_1, x_2, \ldots, x_m)$.