Exercice 25, § 4

Soit E un ensemble, $f$ une application de $E^m$ dans E; on écrira $f(x_1, x_2, \ldots, x_m) = x_1x_2\ldots x_m$; on suppose que $f$ satisfait aux conditions suivantes: 1° On a identiquement

2° Quels que soient $a_1, a_2, \ldots, a_{m-1}$ dans E, les applications

sont des bijections de E sur E. a) Montrer qu’on a identiquement

pour tout indice $i$ tel que $1 \leq i \leq m-1$ (raisonner par récurrence sur $i$, en considérant l’élément

b) Quels que soient $a_1, a_2, \ldots, a_{m-2}$, il existe $u \in E$ tel que l’on ait identiquement en $x$

c) Dans l’ensemble $E^k$ des suites $(u_1, u_2, \ldots, u_k)$ de $k$ éléments de E ($1 \leq k \leq m-1$) on considère la relation d’équivalence $R_k$ qui s’énonce: quels que soient $x_1, x_2, \ldots, x_{m-k}, u_1u_2\ldots u_kx_1x_2\ldots x_{m-k} = v_1v_2\ldots v_kx_1x_2\ldots x_{m-k}$; on désigne par $E_k$ l’ensemble quotient $E^k/R_k$, par G l’ensemble somme (E, II, p. 30) de $E_1 = E, E_2, \ldots, E_{m-1}$. Soient $\alpha \in E_i, \beta \in E_j$; si $(u_1, u_2, \ldots, u_i)$ est une suite de la classe $\alpha$, $(v_1, \ldots, v_j)$ une suite de la classe $\beta$, on considère la suite $(u_1, u_2, \ldots, u_i, v_1, \ldots, v_j)$ de $E^{i+j}$ si $i + j < m$, la suite

de $E^{i+j-m+1}$ si $i + j \geq m$; montrer que la classe de cette suite dans $E_{i+j}$ (resp. $E_{i+j-m+1}$) ne dépend que des classes $\alpha$ et $\beta$; on la désigne par $\alpha.\beta$. Montrer qu’on définit ainsi sur G une loi de groupe, que $H = E_{m-1}$ est sous-groupe distingué de G, et que le groupe quotient $G/H$ est cyclique d’ordre $m-1$; prouver enfin que E est identique à une classe (mod. H) engendrant G/H, et que $x_1x_2\ldots x_m$ n’est autre que le composé, dans le groupe G, de la suite $(x_1, x_2, \ldots, x_m)$.