Bài tập 4, § 4

Cho $A$ và $B$ là hai nhóm con của một nhóm $G$.

(a) Chứng minh rằng nhóm con nhỏ nhất chứa $A$ và $B$ (nghĩa là nhóm con sinh bởi $A \cup B$) trùng với tập hợp các tích của các dãy $(x_i)_{1 \leq i \leq 2n+1}$ gồm một số lẻ tùy ý các phần tử sao cho $x_i \in A$ với $i$ lẻ và $x_i \in B$ với $i$ chẵn.

(b) Để $AB$ là một nhóm con của $G$ (trong trường hợp đó nó là nhóm con sinh bởi $A \cup B$), điều kiện cần và đủ là $A$ và $B$ hoán vị được, nghĩa là $AB = BA$.

(c) Nếu $A$ và $B$ hoán vị được và $C$ là một nhóm con chứa $A$, thì $A$ hoán vị được với $B \cap C$ và $A(B \cap C) = C \cap (AB)$.