Exercice 4, § 4

Soient $A$ et $B$ deux sous-groupes d’un groupe $G$.

a) Montrer que le plus petit sous-groupe contenant $A$ et $B$ (c’est-à-dire le sous-groupe engendré par $A \cup B$) est identique à l’ensemble des composés des suites $(x_i)_{1 \leq i \leq 2n+1}$ d’un nombre impair (quelconque) d’éléments, telles que $x_i \in A$ pour $i$ impair, et $x_i \in B$ pour $i$ pair.

b) Pour que $AB$ soit un sous-groupe de $G$ (auquel cas c’est le sous-groupe engendré par $A \cup B$), il faut et il suffit que $A$ et $B$ soient permutables, c’est-à-dire que $AB = BA$.

c) Si $A$ et $B$ sont permutables, et si $C$ est un sous-groupe contenant $A$, $A$ est permutable avec $B \cap C$, et on a $A(B \cap C) = C \cap (AB)$.