Bài tập 5, § 5

Cho G là một nhóm. (a) Nếu H là một nhóm con của G có chỉ số hữu hạn n, hãy chứng minh rằng giao N của các liên hợp của H có chỉ số là một ước của n! (chú ý rằng $G/N$ đẳng cấu với một nhóm con của $\mathfrak{S}_n$). (b) G được gọi là thặng dư hữu hạn nếu giao của các nhóm con hữu hạn chỉ số của nó là $\{e\}$. Hãy chứng minh rằng điều này tương đương với việc nói rằng G đẳng cấu với một nhóm con của một tích các nhóm hữu hạn.

(c) Giả sử rằng G có thể được sinh bởi một tập hợp hữu hạn. Hãy chứng minh rằng, với mọi số nguyên n, tập hợp P_n các nhóm con của G có chỉ số n là hữu hạn.

(d) Dưới giả thiết của (c), xét một tự đồng cấu f của G là toàn ánh. Hãy chứng minh rằng, với mọi số nguyên n, ánh xạ H $\mapsto f^{-1}(H)$ là một song ánh của P_n lên chính nó (hãy quan sát rằng đó là một đơn ánh). Suy ra rằng hạt nhân của f được chứa trong mọi nhóm con của G có hữu hạn chỉ số. Đặc biệt, nếu G là thặng dư hữu hạn thì f là song ánh.