Exercice 5, § 5

Soit $G$ un groupe. a) Si $H$ est un sous-groupe de $G$ d’indice fini $n$, montrer que l’intersection $N$ des conjugués de $H$ est d’indice un diviseur de $n!$ (noter que $G/N$ est isomorphe à un sous-groupe de $\mathfrak{S}_n$). b) On dit que $G$ est résiduellement fini si l’intersection de ses sous-groupes d’indice fini est $\{e\}$. Montrer que cela équivaut à dire que $G$ est isomorphe à un sous-groupe d’un produit de groupes finis.

c) On suppose que G peut être engendré par un ensemble fini. Montrer que, pour tout entier n, l’ensemble P_n des sous-groupes de G d’indice n est fini. d) Sous l’hypothèse de c), on considère un endomorphisme f de G qui est surjectif. Montrer que, pour tout entier n, l’application H ↦ f^{-1}(H) est une bijection de P_n sur lui-même (observer que c’est une injection). En déduire que le noyau de f est contenu dans tout sous-groupe d’indice fini de G. En particulier, si G est résiduellement fini, f est bijectif.