Bài tập 14, § 1

Cho L là một tập hợp được sắp thứ tự tốt, E là một A-môđun và $(E_\lambda)_{\lambda \in L}$ là một họ tăng các môđun con của E sao cho: (1) tồn tại một $\lambda \in L$ sao cho $E = \{0\}$; (2) E là hợp của các $E_\lambda$ với $\lambda \in L$; (3) nếu $\lambda \in L$ sao cho tập hợp các $\mu < \lambda$ có một phần tử lớn nhất $\lambda'$, thì $E_\lambda$ là tổng trực tiếp của $E_{\lambda'}$ và của một môđun con $F_\lambda$; (4) nếu $\lambda \in L$ là cận trên bé nhất của tập hợp các $\mu < \lambda$, thì $E_\lambda$ là hợp của các $E_\mu$ với $\mu < \lambda$. Với các điều kiện ấy, hãy chứng minh rằng E là tổng trực tiếp của các $F_\lambda$. (Hãy chứng minh bằng quy nạp siêu hạn rằng mỗi $E_\lambda$ là tổng trực tiếp của các $F_\mu$ sao cho $\mu \leq \lambda$.)