Exercice 14, § 1

Soient L un ensemble bien ordonné, E un A-module, $(E_\lambda)_{\lambda \in L}$ une famille croissante de sous-modules de E, tels que: 1° il existe un $\lambda \in L$ tel que $E_\lambda = \{0\}$; 2° E est réunion des $E_\lambda$ pour $\lambda \in L$; 3° si $\lambda \in L$ est tel que l’ensemble des $\mu < \lambda$ admette un plus grand élément $\lambda'$, $E_{\lambda'}$ est somme directe de $E_{\lambda'}$ et d’un sous-module $F_\lambda$; 4° si $\lambda \in L$ est la borne supérieure de l’ensemble des $\mu < \lambda$, alors $E_\lambda$ est réunion des $E_\mu$ pour $\mu < \lambda$. Dans ces conditions, montrer que E est somme directe des $F_\lambda$. (Prouver par récurrence transfinie que chaque $E_\lambda$ est somme directe des $F_\mu$ tels que $\mu \leq \lambda$.)