Bài tập 1, § 10

(a) Cho $E$ là một môđun phải trên $A$. Trên nhóm cộng $E^r$ (với $r \geq 1$) ta định nghĩa một phép toán ngoài với $\mathbf{M}_r(A)$ làm tập hợp các toán tử, bằng cách ký hiệu $x.P$, với mọi phần tử $x = (x_i)_{1 \leq i \leq r}$ của $E^r$ và mọi ma trận bình phương $P = (\alpha_{ij}) \in \mathbf{M}_r(A)$, phần tử $y = (y_i)$ của $E^r$ sao cho

Phép toán ngoài này cùng với luật cộng trên $E^r$ xác định một cấu trúc môđun phải trên $\mathbf{M}_r(A)$ trên $E^r$; khi thu hẹp vành các toán tử vào vành các ma trận vô hướng $I.\alpha$, ta thu lại cấu trúc $A$-môđun tích trên $E^r$. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để $A$-môđun $E$ có một hệ sinh gồm $r$ phần tử là $\mathbf{M}_r(A)$-môđun $E^r$ là đơn sinh.

(b) Cho $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một hệ sinh của $E$ và $(y_j)_{1 \leq j \leq m}$ là một họ các phần tử của $E$ (tương ứng là một hệ sinh của $E$). Cho $z, z', z''$ là ba phần tử của $E^{m+n}$ sao cho $z_i = x_i$ với $1 \leq i \leq n$, $z_{n+j} = 0$ với $1 \leq j \leq m$, $z'_i = x_i$ với 1 $\leq i \leq n,\ z'_{n+j} = y_j$ với $1 \leq j \leq n,\ z''_i = 0$ với $1 \leq i \leq n,\ z''_{n+j} = y_j$ với $1 \leq j \leq n$. Chứng minh rằng tồn tại hai ma trận khả nghịch $P, Q$ của $\mathbf{M}_{n+m}(\mathbf{A})$ sao cho $z' = z.P$ (tương ứng $z'' = z.Q$).

(c) Nếu $\mathbf{A}$ giao hoán, $u_P : x \mapsto x.P$ là một tự đồng cấu của $\mathbf{A}$-môđun $E'$ và ánh xạ $P \mapsto u_P$ là một đồng cấu từ vành $\mathbf{M}_r(\mathbf{A})$ vào vành $\operatorname{End}_\mathbf{A}(E')$. Nếu $E$ là một $\mathbf{A}$-môđun trung thành thì đồng cấu này là đơn ánh.