Exercice 1, § 10

a) Soient $E$ un $A$-module à droite. Sur le groupe additif $E^r$ (pour $r \geqslant 1$) on définit une loi d’action ayant $M_r(A)$ comme ensemble d’opérateurs, en désignant par $x.P$, pour tout élément $x = (x_i)_{1 \leqslant i \leqslant r}$ de $E^r$ et toute matrice carrée $P = (\alpha_{ij}) \in M_r(A)$, l’élément $y = (y_i)$ de $E^r$ tel que

Cette loi d’action définit, avec la loi additive de $E^r$, une structure de $M_r(A)$-module à droite sur $E^r$; par restriction à l’anneau des matrices scalaires $I_\alpha$ de l’anneau des opérateurs, on retrouve sur $E^r$ la structure de $A$-module produit. Montrer que, pour que le $A$-module $E$ possède un système générateur de $r$ éléments, il faut et il suffit que le $M_r(A)$-module $E^r$ soit monogène. b) Soit $(x_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ un système générateur de $E$ et soit $(y_j)_{1 \leqslant j \leqslant m}$ une famille d’éléments de $E$ (resp. un système générateur de $E$). Soient $z, z', z''$ les trois éléments de $E^{m+n}$ tels que $z_i = x_i$ pour $1 \leqslant i \leqslant n$, $z_{n+j} = 0$ pour $1 \leqslant j \leqslant m$, $z'_i = x_i$ pour $1 \leqslant i \leqslant n$, $z'_{n+j} = y_j$ pour $1 \leqslant j \leqslant n$, $z''_i = 0$ pour $1 \leqslant i \leqslant n$, $z''_{n+j} = y_j$ pour $1 \leqslant j \leqslant n$. Montrer qu’il existe deux matrices inversibles $P, Q$ de $M_{n+m}(A)$ telles que $z' = z.P$ (resp. $z'' = z.Q$). c) Si $A$ est commutatif, $u_P : x \mapsto x.P$ est un endomorphisme du $A$-module $E^r$ et l’application $P \mapsto u_P$ est un homomorphisme de l’anneau $M_r(A)$ dans l’anneau $\mathrm{End}_A(E^r)$. Si $E$ est un $A$-module fidèle cet homomorphisme est injectif.