Bài tập 2, § 10

(a) Cho $X$ là một ma trận vuông trên một vành $\mathbf{A}$, có thể viết thành một ma trận tam giác trên $(X_{ij})$ gồm các ma trận ($1 \leq i \leq p,\ 1 \leq j \leq p$). Hãy chỉ ra rằng nếu mỗi ma trận vuông $X_{ii}$ ($1 \leq i \leq p$) đều khả nghịch, thì $X$ cũng khả nghịch và $X^{-1}$ có thể được viết thành một ma trận tam giác trên $(Y_{ij})$ ($1 \leq i \leq p,\ 1 \leq j \leq p$) tương ứng với cùng phân hoạch của tập hợp chỉ số. Khi $\mathbf{A}$ là một trường, hãy chứng minh rằng điều kiện đủ này để $X$ khả nghịch cũng là điều kiện cần.

(b) Hãy cho một ví dụ về một vành $\mathbf{A}$ và một ma trận $\begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & b \end{pmatrix}$ (với $a \in \mathbf{A},\ b \in \mathbf{A}$) khả nghịch mà không có $a$ hay $b$ nào khả nghịch trong $\mathbf{A}$, và có nghịch đảo $\begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix}$ sao cho $b' \neq 0$ và $c' \neq 0$ (lấy $\mathbf{A}$ là vành các tự đồng cấu của một không gian vectơ vô hạn chiều).