Exercice 2, § 10

a) Soit $X$ une matrice carrée sur un anneau $A$, qui s’écrit comme matrice triangulaire supérieure $(X_{ij})$ de matrices $(1 \leqslant i \leqslant p, 1 \leqslant j \leqslant p)$. Montrer que si chacune des matrices carrées $X_{ii}$ $(1 \leqslant i \leqslant p)$ est inversible, il en est de même de $X$, et $X^{-1}$ s’écrit comme matrice triangulaire supérieure $(Y_{ij})$ $(1 \leqslant i \leqslant p, 1 \leqslant j \leqslant p)$ correspondant à la même partition de l’ensemble d’indices. Lorsque $A$ est un corps, prouver que cette condition suffisante pour que $X$ soit inversible, est aussi nécessaire. b) Donner un exemple d’anneau $A$ et de matrice $\begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & b \end{pmatrix}$ (avec $a \in A,\ b \in A$) qui est inversible sans que $a$ ni $b$ soient inversibles dans $A$, et dont l’inverse $\begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix}$ est telle que $b' \neq 0$ et $c' \neq 0$ (prendre pour $A$ l’anneau d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension infinie).