Bài tập 4, § 10

Cho $\mathbf{A}$ là một vành, $\mathbf{C}$ là tâm của nó, $\mathbf{B}$ là vành ma trận $\mathbf{M}_n(\mathbf{A})$, $\Delta$ là nhóm con cộng tính của $\mathbf{A}$ sinh bởi các phần tử $\alpha \beta - \beta \alpha$ với $\alpha \in \mathbf{A},\ \beta \in \mathbf{A}$, và $\mathbf{D}$ là nhóm con cộng tính của $\mathbf{B}$ sinh bởi các ma trận $XY - YX$ với $X \in \mathbf{B},\ Y \in \mathbf{B}$; $\Delta$ và $\mathbf{D}$ là các $\mathbf{C}$-môđun. Với mọi ma trận $X = (\xi_{ij}) \in \mathbf{B}$, đặt $\theta(X)$ là phần tử $\sum_{i=1}^n \bar{\xi}_{ij}$ của $\mathbf{A}/\Delta$, trong đó, với mọi $\alpha \in \mathbf{A}$, $\bar{\alpha}$ ký hiệu lớp của $\alpha$ modulo $\Delta$. Hãy chứng minh rằng $\theta$ là một đồng cấu toàn ánh từ $\mathbf{B}$ lên $\mathbf{A}/\Delta$, có hạt nhân bằng $\mathbf{D}$, do đó $\mathbf{B}/\mathbf{D}$ đẳng cấu với $\mathbf{A}/\Delta$ như một $\mathbf{C}$-môđun. (Chú ý rằng $\mathbf{D}$ chứa các ma trận $\alpha E_{ij}$ và các ma trận $\alpha(E_{ii} - E_{jj})$ với $\alpha \in \mathbf{A}$ và $i \neq j$.)