Exercice 4, § 10

Soient A un anneau, C son centre, B l’anneau de matrices $\mathbf{M}_n(A)$, $\Delta$ le sous-groupe additif de A engendré par les éléments $\alpha \beta - \beta \alpha$ pour $\alpha \in A, \beta \in A$, D le sous-groupe additif de B engendré par les matrices $XY - YX$, pour $X \in B, Y \in B$; $\Delta$ et D sont des C-modules. Pour toute matrice $X = (\xi_{ij}) \in B$, soit $\theta(X)$ l’élément $\sum_{i=1}^n \bar{\xi}_{ij}$ de $A/\Delta$, où, pour tout $\alpha \in A$, $\bar{\alpha}$ désigne la classe de $\alpha$ mod. $\Delta$. Montrer que $\theta$ est un homomorphisme surjectif de B dans $A/\Delta$, dont le noyau est égal à D, de sorte que $B/D$ est isomorphe à $A/\Delta$ en tant que C-module. (Observer que D contient les matrices $\alpha E_{ij}$ et les matrices $\alpha(E_{ii} - E_{jj})$ pour $\alpha \in A$ et $i \neq j$.)