Bài tập 15, § 2

Người ta nói rằng một đồng cấu $u : E \to F$ của các A-môđun là cốt yếu nếu nó là đơn ánh và nếu, với mọi môđun con $P \neq \{0\}$ của $F$, ta có $\overline{u^1}(P) \neq \{0\}$; chỉ cần kiểm tra điều kiện này đối với mọi môđun con đơn sinh $P \neq \{0\}$ của $F$. Nếu $E$ là một môđun con của $F$, người ta nói rằng $F$ là một mở rộng cốt yếu của $E$ nếu đơn ánh chính tắc $E \to F$ là cốt yếu. a) Cho $u : E \to F$, $v : F \to G$ là hai A-đồng cấu của các A-môđun. Nếu $u$ và $v$ là cốt yếu, thì điều tương tự cũng đúng đối với $v \circ u$. Ngược lại, nếu $v \circ u$ là cốt yếu và nếu $v$ là đơn ánh, thì $u$ và $v$ là cốt yếu.

b) Cho E là một môđun con của một A-môđun F, và cho $(F_\lambda)_{\lambda \in L}$ là một họ các môđun con của F chứa E, và có hợp là F. Chứng minh rằng nếu mỗi $F_\lambda$ là một mở rộng cốt yếu của E, thì điều tương tự cũng đúng đối với F. c) Cho $(u_\lambda)_{\lambda \in L}$ là một họ các đồng cấu cốt yếu $u_\lambda : E_\lambda \to F_\lambda$. Chứng minh rằng đồng cấu $\bigoplus_{\lambda \in L} u_\lambda : \bigoplus_{\lambda \in L} E_\lambda \to \bigoplus_{\lambda \in L} F_\lambda$ là cốt yếu. (Trước hết hãy chứng minh điều này khi L có hai phần tử, sau đó sử dụng b).) d) A-môđun $\mathbf{Z}$-môđun $\mathbf{Q}$ là một mở rộng cốt yếu của $\mathbf{Z}$, nhưng tích $\mathbf{Q}^N$ không phải là một mở rộng cốt yếu của $\mathbf{Z}^N$. e) Cho E là một môđun con của một môđun F. Chứng minh rằng tồn tại một môđun con Q của F sao cho $Q \cap E = \{0\}$ và hạn chế vào E của đồng cấu chính tắc $F \to F/Q$ là cốt yếu.