Exercice 15, § 2

On dit qu’un homomorphisme $u : E \to F$ de $A$-modules est essentiel s’il est injectif et si, pour tout sous-module $P \neq \{0\}$ de $F$, on a $\overline{u^1}(P) \neq \{0\}$; il suffit que cette condition soit vérifiée pour tout sous-module monogène $P \neq \{0\}$ de $F$. Si $E$ est un sous-module de $F$, on dit que $F$ est une extension essentielle de $E$ si l’injection canonique $E \to F$ est essentielle. a) Soient $u : E \to F$, $v : F \to G$ deux $A$-homomorphismes de $A$-modules. Si $u$ et $v$ sont essentiels, il en est de même de $v \circ u$. Inversement, si $v \circ u$ est essentiel et si $v$ est injectif, alors $u$ et $v$ sont essentiels.

b) Soit E un sous-module d’un A-module F, et soit $(F_\lambda)_{\lambda \in L}$ une famille de sous-modules de F contenant E, et dont la réunion est F. Montrer que si chacun des $F_\lambda$ est une extension essentielle de E, il en est de même de F. c) Soit $(u_\lambda)_{\lambda \in L}$ une famille d’homomorphismes essentiels $u_\lambda : E_\lambda \to F_\lambda$. Montrer que l’homomorphisme $\bigoplus_{\lambda \in L} u_\lambda : \bigoplus_{\lambda \in L} E_\lambda \to \bigoplus_{\lambda \in L} F_\lambda$ est essentiel. (Le démontrer d’abord lorsque L a deux éléments, puis utiliser b).) d) Le $\mathbf{Z}$-module $\mathbf{Q}$ est une extension essentielle de $\mathbf{Z}$, mais le produit $\mathbf{Q}^N$ n’est pas une extension essentielle de $\mathbf{Z}^N$. e) Soit E un sous-module d’un module F. Montrer qu’il existe un sous-module Q de F tel que $Q \cap E = \{0\}$ et que la restriction à E de l’homomorphisme canonique $F \to F/Q$ soit essentielle.