Bài tập 23, § 2

Cho M là một A-môđun, là tổng trực tiếp của một họ (hữu hạn hoặc không) $(M_\lambda)_{\lambda \in L}$ các môđun con sao cho với mọi $\lambda \in L$ các phần tử không khả nghịch của $\operatorname{End}(M_\lambda)$ tạo thành một iđêan hai phía của vành này (điều này kéo theo rằng $M_\lambda$ là không phân tích được).

(a) Cho $f, g$ là hai tự đồng cấu của $M$ sao cho $f + g = 1_M$. Chứng minh rằng với mọi dãy hữu hạn $(\lambda_k)_{1 \leq k \leq s}$ các chỉ số phân biệt trong $L$ tồn tại một họ các môđun con $N_k$ $(1 \leq k \leq s)$ của $M$ sao cho với mọi $k$ một trong hai tự đồng cấu $f, g$ hạn chế trên $M_{\lambda_k}$ là một đẳng cấu của môđun con này lên $N_k$ và $M$ là tổng trực tiếp của các $N_k$ $(1 \leq k \leq s)$ và các $M_\lambda$ với $\lambda$ phân biệt với các $\lambda_k$. (Rút gọn về trường hợp $s = 1$; nếu $\pi_\lambda$ là phép chiếu chính tắc của $M$ lên $M_\lambda$ tương ứng với phân tích thành tổng trực tiếp của $M_\lambda$ và $\bigoplus_{\mu \neq \lambda} M_\mu$, chú ý rằng hoặc $\pi_\lambda \circ f$ hoặc $\pi_\lambda \circ g$, hạn chế trên $M_\lambda$, là một tự đẳng cấu của $M_\lambda$.)

(b) Cho $f$ là một tự đồng cấu lũy đẳng của $M$. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một chỉ số $\lambda \in L$ sao cho hạn chế của $f$ trên $M_\lambda$ là một đẳng cấu của $M_\lambda$ lên $f(M_\lambda)$; hơn nữa $f(M_\lambda)$ là một nhân tử trực tiếp của $M$. (Nếu $g = 1_M - f$, chú ý rằng tồn tại một dãy hữu hạn các chỉ số $(\lambda_k)_{1 \leq k \leq s}$ sao cho giao của $\operatorname{Ker}(g)$ và tổng trực tiếp của các $M_{\lambda_k}$ là $\neq \{0\}$ và sử dụng (a).)

(c) Suy ra từ (b) rằng mọi nhân tử trực tiếp không phân tích được của $M$ đều đẳng cấu với một trong các $M_\lambda$.

(d) Cho $(N_\kappa)_{\kappa \in K}$ là một họ các môđun con không phân tích được của $M$ mà $M$ là tổng trực tiếp của chúng; do đó mọi $N_\kappa$ đều đẳng cấu với một $M_\lambda$ và ngược lại, nhờ (c). Gọi $T$ là tập hợp các lớp của các môđun con không phân tích được của $M$ (theo quan hệ đẳng cấu) sao cho một $M_\lambda$ (hoặc một $N_\kappa$) thuộc một trong các lớp này. Với mọi $t \in T$, gọi $R(t)$ (tương ứng $S(t)$) là tập hợp các $\lambda \in L$ (tương ứng $\kappa \in K$) sao cho $M_\lambda \in t$ (tương ứng $N_\kappa \in t$). Chứng minh rằng, với mọi $t \in T$, $\operatorname{Card}(R(t)) = \operatorname{Card}(S(t))$. (Theo ký hiệu của (a), gọi $J(\kappa)$ là tập hợp các $\lambda \in L$ sao cho hạn chế của $\pi_\lambda$ trên $N_\kappa$ là một đẳng cấu của $N_\kappa$ lên $M_\lambda$; chứng minh rằng $J(\kappa)$ là hữu hạn và các $J(\kappa)$ phủ $R(t)$ khi $\kappa$ chạy qua $S(t)$. Suy ra rằng $\operatorname{Card}(S(t)) \leq \operatorname{Card}(R(t))$ khi $R(t)$ là vô hạn. Khi $R(t)$ là hữu hạn, chứng minh, nhờ (a), rằng $M$ là tổng trực tiếp của các $M_\lambda$ với $\lambda \notin R(t)$ và một họ con của $(N_\kappa)_{\kappa \in S(t)}$ có lực lượng bằng lực lượng của $R(t)$.)

(e) Suy ra từ (d) và các Bài tập 22 và 21 (d) rằng nếu $(E_\lambda)_{\lambda \in L}$ và $(E'_\kappa)_{\kappa \in K}$ là hai phân tích bất khả quy thu gọn của $\{0\}$ trong một môđun $F$, thì $L$ và $K$ là đẳng lực lượng.