Exercice 23, § 2

Soit M un A-module, somme directe d’une famille (finie ou non) $(M_\lambda)_{\lambda \in L}$ de sous-modules tels que pour tout $\lambda \in L$, les éléments non inversibles de $\mathrm{End}(M_\lambda)$ forment un idéal bilatère dans cet anneau (ce qui entraîne que $M_\lambda$ est indécomposable). a) Soient $f, g$ deux endomorphismes de M tels que $f + g = 1_M$. Montrer que pour toute suite finie $(\lambda_k)_{1 \leq k \leq s}$ d’indices distincts dans L, il existe une famille de sous-modules $N_k$ ($1 \leq k \leq s$) de M tels que pour tout k, l’un des endomorphismes $f, g$, restreint à $M_{\lambda_k}$, soit un isomorphisme de ce sous-module sur $N_k$, et que M soit somme directe des $N_k$ ($1 \leq k \leq s$) et des $M_\lambda$ pour les $\lambda$ distincts des $\lambda_k$. (Se ramener au cas $s = 1$; si $\pi_\lambda$ est la projection canonique de M sur $M_\lambda$ correspondant à la décomposition en somme directe de $M_\lambda$ et de $\bigoplus_{\mu \neq \lambda} M_\mu$, remarquer que soit $\pi_\lambda \circ f$, soit $\pi_\lambda \circ g$, restreint à $M_\lambda$, est un automorphisme de $M_\lambda$.) b) Soit $f$ un endomorphisme idempotent de M. Montrer qu’il existe au moins un indice $\lambda \in L$ tel que la restriction de $f$ à $M_\lambda$ soit un isomorphisme de $M_\lambda$ sur $f(M_\lambda)$; en outre $f(M_\lambda)$ est facteur direct de M. (Si $g = 1_M - f$, remarquer qu’il existe une suite finie d’indices $(\lambda_k)_{1 \leq k \leq s}$ telle que l’intersection de $\mathrm{Ker}(g)$ et de la somme directe des $M_{\lambda_k}$ soit $\neq \{0\}$, et utiliser a).) c) Déduire de b) que tout facteur direct indécomposable de M est isomorphe à un des $M_\lambda$. d) Soit $(N_\kappa)_{\kappa \in K}$ une famille de sous-modules indécomposables de M dont M est somme directe; tout $N_\kappa$ est donc isomorphe à un $M_\lambda$, et vice versa, en vertu de c). Soit T l’ensemble des classes de sous-modules indécomposables de M (pour la relation d’isomorphie) telles qu’un $M_\lambda$ (ou un $N_\kappa$) appartienne à une de ces classes. Pour tout $t \in T$, soit $R(t)$ (resp. $S(t)$) l’ensemble des $\lambda \in L$ (resp. $\kappa \in K$) tels que $M_\lambda \in t$ (resp. $N_\kappa \in t$). Montrer que pour tout $t \in T$, on a $\mathrm{Card}(R(t)) = \mathrm{Card}(S(t))$. Avec les notations de a), soit $J(\kappa)$ l’ensemble des $\lambda \in L$ tels que la restriction de $\pi_\lambda$ à $N_\kappa$ soit un isomorphisme de $N_\kappa$ sur $M_\lambda$; montrer que $J(\kappa)$ est fini et que les $J(\kappa)$ recouvrent $R(t)$ lorsque $\kappa$ parcourt $S(t)$. En déduire que $\mathrm{Card}(S(t)) \leq \mathrm{Card}(R(t))$ lorsque $R(t)$ est infini. Lorsque $R(t)$ est fini, montrer à l’aide de a) que M est somme directe des $M_\lambda$ pour $\lambda \notin R(t)$ et d’une sous-famille de $(N_\kappa)_{\kappa \in S(t)}$ de cardinal égal à celui de $R(t)$. e) Déduire de d) et des exerc. 22 et 21 d) que si $(E_\lambda)_{\lambda \in L}$ et $(E'_\kappa)_{\kappa \in K}$ sont deux décompositions irréductibles réduites de {0} dans un module F, L et K sont équipotents.