Bài tập 24, § 2

Cho M là một A-môđun, I là bao nội xạ của nó (II, p. 186, exerc. 18), a là một iđêan hai phía của A, Q là môđun con của I tạo bởi các $z \in I$ sao cho $az = \{0\}$; Q được trang bị tự nhiên một cấu trúc $(A/a)$-môđun. Cho N là môđun con của M tạo bởi các $x \in M$ sao cho $ax = \{0\}$; nếu coi N như một $(A/a)$-môđun, bây giờ chứng minh rằng Q là đẳng cấu với một bao nội xạ của N.

25 a) Để một A-môđun Q là đơn ánh, chỉ cần rằng với mọi A-môđun xạ ảnh P và mọi môđun con P’ của P, mọi ánh xạ tuyến tính từ P’ vào Q đều mở rộng thành một ánh xạ tuyến tính từ P vào Q (dùng sự kiện rằng mọi A-môđun là một thương của một A-môđun xạ ảnh). b) Để một A-môđun P là xạ ảnh, chỉ cần rằng với mọi A-môđun đơn ánh Q và mọi môđun thương Q” của Q, mọi đồng cấu từ P vào Q” đều có dạng φ ∘ u, trong đó φ : Q → Q” là đồng cấu chính tắc và u là một đồng cấu từ P vào Q (dùng sự kiện rằng mọi A-môđun là một môđun con của một A-môđun đơn ánh).

26) Với mọi $\mathbf{Z}$-môđun G và mọi số nguyên $n > 0$, ký hiệu $_n G$ là hạt nhân của tự đồng cấu $x \mapsto nx$ của G. Nếu $0 \to G' \to G \to G'' \to 0$ là một dãy khớp, định nghĩa một đồng cấu chính tắc $d : _n G'' \to G'/nG'$ sao cho dãy

là khớp. Nếu $_n G$ và $G/nG$ là hữu hạn, đặt

bây giờ chứng minh rằng $_n G', _n G'', G'/nG', G''/nG''$ là hữu hạn và rằng ta có $h_n(G) = h_n(G') + h_n(G'')$.