Bài tập 25, § 2

(a) Để một $A$-môđun $Q$ là đơn ánh, chỉ cần rằng, đối với mọi $A$-môđun xạ ảnh $P$ và mọi môđun con $P'$ của $P$, mọi ánh xạ tuyến tính từ $P'$ vào $Q$ có thể được mở rộng thành một ánh xạ tuyến tính từ $P$ vào $Q$ (sử dụng sự kiện rằng mọi $A$-môđun là một môđun thương của một $A$-môđun xạ ảnh).

(b) Để một $A$-môđun $P$ là xạ ảnh, chỉ cần rằng, đối với mọi $A$-môđun đơn ánh $Q$ và mọi môđun thương $Q''$ của $Q$, mọi đồng cấu từ $P$ vào $Q''$ có dạng $\phi \circ u$, trong đó $\phi : Q \to Q''$ là đồng cấu chính tắc và $u$ là một đồng cấu từ $P$ vào $Q$ (sử dụng sự kiện rằng mọi $A$-môđun là một môđun con của một $A$-môđun đơn ánh).