Bài tập 4, § 2

(a) Cho E, E' là hai A-môđun, N là một môđun con của E và N' là một môđun con của E' sao cho E là xạ ảnh và E/N và E'/N' là đẳng cấu. Chứng minh rằng tồn tại một dãy khớp

(Nhận xét rằng tồn tại một đồng cấu $f : E \to E'$ sao cho $f(N) \subset N'$, đồng cấu này cho qua các thương một đẳng cấu $E/N \to E'/N'$; định nghĩa u và v theo một cách tương tự như cách đã dùng cho dãy khớp (29) của § 1, no. 7.)

(b) Suy ra từ (a) rằng nếu E' là xạ ảnh thì $E \oplus N'$ và $E' \oplus N$ là đẳng cấu.

(c) Cho $0 \to E_m \to E_{m-1} \to \ldots \to E_1 \to E_0 \to 0$ là một dãy khớp các A-môđun sao cho $E_0, E_1, \ldots, E_{m-2}$ là xạ ảnh. Chứng minh rằng các A-môđun $\bigoplus_{h \geq 0} E_{m-2h}$ và $\bigoplus_{h \geq 0} E_{m-2h+1}$ là đẳng cấu (với quy ước rằng $E_i = \{0\}$ với $i < 0$).