Exercice 4, § 2

a) Soient E, E’ deux A-modules, N un sous-module de E, N’ un sous-module de E’, tels que E soit projectif, et que E/N et E’/N’ soient isomorphes. Montrer qu’il existe une suite exacte

(Observer qu’il existe un homomorphisme $f : E \to E'$ tel que $f(N) \subset N'$, qui donne par passage aux quotients un isomorphisme $E/N \to E'/N'$; définir u et v de façon analogue à celle utilisée pour la suite exacte (29) de II, p. 17.) b) Déduire de a) que si E’ est projectif, $E \oplus N'$ et $E' \oplus N$ sont isomorphes. c) Soit $0 \to E_m \to E_{m-1} \to \cdots \to E_1 \to E_0 \to 0$ une suite exacte de A-modules, telle que $E_0, E_1, \ldots, E_{m-2}$ soient projectifs. Montrer que les A-modules $\bigoplus_{h \geq 0} E_{m-2h}$ et $\bigoplus_{h \geq 0} E_{m-2h+1}$ sont isomorphes (en convenant que $E_i = \{0\}$ pour $i < 0$).