Bài tập 6, § 2

a) Nếu E là một A-môđun, mọi tự đồng cấu đơn ánh u của E không phải là một ước trái của không trong vành $\mathrm{End}_A(E)$. Ngược lại, nếu với mọi môđun con trên A $F \neq \{0\}$ của E tồn tại một tự đồng cấu $v \neq 0$ của E sao cho $v(E) \subset F$, một phần tử không phải là một ước trái của không trong $\mathrm{End}_A(E)$ là một tự đồng cấu đơn ánh. Điều kiện trước đó được thỏa mãn nếu tồn tại một dạng tuyến tính $x' \in E^*$ và một $x \in E$ sao cho $\langle x, x' \rangle$ là khả nghịch trong A và đặc biệt nếu E là tự do. b) Mọi tự đồng cấu $\neq 0$ của $\mathbf{Z}$-môđun $\mathbf{Q}$ đều là song ánh, mặc dù không tồn tại dạng tuyến tính $\neq 0$ trên $\mathbf{Q}$. c) Cho $U_p$ là $\mathbf{Z}$-môđun được định nghĩa trong II, p. 180, exerc. 12 d). Chứng minh rằng tự đồng cấu $x \mapsto px$ của $U_p$ không đơn ánh và không phải là một ước trái của không trong $\mathrm{End}_{\mathbf{Z}}(U_p)$.