Exercice 6, § 2

a) Si E est un A-module, tout endomorphisme injectif u de E est non diviseur à gauche de zéro dans l’anneau $\mathrm{End}_A(E)$. Inversement, si pour tout sous-A-module $F \neq \{0\}$ de E il existe un endomorphisme $v \neq 0$ de E tel que $v(E) \subset F$, un élément non diviseur à gauche de zéro dans $\mathrm{End}_A(E)$ est un endomorphisme injectif. La condition précédente est vérifiée s’il existe une forme linéaire $x' \in E^*$ et un $x \in E$ tels que $\langle x, x' \rangle$ soit inversible dans A et en particulier si E est libre. b) Tout endomorphisme $\neq 0$ du $\mathbf{Z}$-module $\mathbf{Q}$ est bijectif, bien qu’il n’existe aucune forme linéaire $\neq 0$ sur $\mathbf{Q}$. c) Soit $U_p$ le $\mathbf{Z}$-module défini dans II, p. 180, exerc. 12 d). Montrer que l’endomorphisme $x \mapsto px$ de $U_p$ n’est pas injectif et n’est pas diviseur à gauche de zéro dans $\mathrm{End}_{\mathbf{Z}}(U_p)$.