Bài tập 18, § 7

Cho E, F là hai không gian vectơ trên một trường K và $u, v$ là hai ánh xạ tuyến tính từ E vào F. Để tồn tại một tự đẳng cấu $f$ của E và một tự đẳng cấu $g$ của F sao cho $v = g \circ u \circ f$, điều kiện cần và đủ là $\operatorname{rg}(u) = \operatorname{rg}(v)$, $\dim(\operatorname{Ker}(u)) = \dim(\operatorname{Ker}(v))$ và $\dim(\operatorname{Coker}(u)) = \dim(\operatorname{Coker}(v))$.