Bài tập 25, § 7

(a) Cho $K$ là một trường và $L, M$ là hai tập hợp; có các bao hàm chính tắc $(K_s^L)^{(M)} \subset (K_s^{(M)})^L \subset K_s^{L \times M}$. Chứng minh rằng để hai trong các không gian vectơ này bằng nhau, điều kiện cần và đủ là một trong hai tập hợp $L, M$ là hữu hạn.

(b) Cho $(E_\lambda)_{\lambda \in L}$ là một họ các không gian vectơ phải trên $K$ và $(F_\mu)_{\mu \in M}$ là một họ các không gian vectơ trái trên $K$. Để ánh xạ chính tắc (26) (no. 7) là song ánh, điều kiện cần và đủ là một trong hai không gian vectơ $\prod_{\lambda \in L} E_\lambda, \prod_{\mu \in M} F_\mu$ là hữu hạn chiều (dùng (a)).