Bài tập 3, § 10

Cho K là một trường, giao hoán hay không, E là không gian vectơ trái $K_s^{(\mathbf{N})}$ và gọi $(e_n)_{n \in \mathbf{N}}$ là cơ sở chính tắc của không gian này. Mặt khác gọi $\sigma$ là một tự đồng cấu của K và $d$ là một đạo hàm $(\sigma, 1_K)$ (Bài tập 1) của K vào chính nó, nói cách khác là một ánh xạ cộng tính từ K vào chính nó sao cho

Các phần tử của E là các tổ hợp tuyến tính của các tích $\alpha_n e_n$ và một phép nhân được xác định trên E (ánh xạ $\mathbf{Z}$-song tuyến tính từ $E \times E$ vào E) bởi các điều kiện

Như vậy một cấu trúc vành (nói chung không giao hoán) được xác định trên E với $e_0$ là phần tử đơn vị (đồng nhất với phần tử 1 của K). Nếu viết $X = e_1$, thì $e_n = X^n$ với $n \geq 1$, do đó các phần tử của E có thể được viết dưới dạng với quy tắc nhân Vành này được ký hiệu bởi $K[X; \sigma, d]$ và được gọi là vành các đa thức không giao hoán theo X với hệ số trong K, ứng với $\sigma$ và $d$. Với một phần tử khác không $z = \sum_j \alpha_j X^j$ của E, bậc $\deg(z)$ là số nguyên lớn nhất $j$ sao cho $\alpha_j \neq 0$.

(a) Chứng minh rằng nếu $u, v$ là hai phần tử $\neq 0$ của E, thì:

Hơn nữa, nếu $\deg(u) \geq \deg(v)$, tồn tại hai phần tử $w, r$ của E sao cho $u = wv + r$ và hoặc là $r = 0$, hoặc là $\deg(r) < \deg(v)$ ("phép chia Euclid" trong E).

(b) Ngược lại, gọi R là một vành sao cho tồn tại một ánh xạ $u \mapsto \deg(u)$ từ tập $R'$ các phần tử $\neq 0$ của R vào $\mathbf{N}$, thỏa mãn các điều kiện của (a). Chứng minh rằng tập K gồm 0 và các phần tử khác không $u \in R$ sao cho $\deg(u) = 0$ là một trường (không nhất thiết giao hoán). Nếu $K \neq R$ và $x$ là một phần tử của R mà số nguyên $\deg(x) > 0$ là nhỏ nhất có thể được, chứng minh rằng mọi phần tử của R đều có thể được viết duy nhất dưới dạng $\sum_i \alpha_i x^i$ với $\alpha_i \in K$. (Để thấy rằng mọi phần tử của R đều có dạng này, hãy lập luận bằng phản chứng bằng cách xét một phần tử $u \in R$ không có dạng này và mà $\deg(u)$ là nhỏ nhất có thể được.) Chứng minh rằng tồn tại một tự đồng cấu $\sigma$ của K và một đạo hàm $(\sigma, l_K)$ $d$ của K sao cho $x \alpha = \sigma(\alpha)x + d\alpha$ với mọi $\alpha \in K$. Suy ra rằng R đẳng cấu với một trường hoặc một vành $K[X; \sigma, d]$.