Exercice 3, § 10

Soient K un corps (commutatif ou non), E l’espace vectoriel à gauche $K_s^{(N)}$, et soit $(e_n)_{n \in \mathbf{N}}$ la base canonique de cet espace. Soient d’autre part $\sigma$ un endomorphisme de K, et d une ($\sigma, 1_K$)-dérivation (exerc. 1) de K dans lui-même, autrement dit une application additive de K dans lui-même telle que $d(\xi \eta) = (d\xi)\sigma(\eta) + \xi(d\eta)$. Les éléments de E sont des combinaisons linéaires de produits $\alpha_n e_n$, et on définit une multiplication dans E (application $\mathbf{Z}$-bilinéaire de E × E dans E) par les conditions

On définit ainsi sur E une structure d’anneau (non commutatif en général) dont $e_0$ est l’élément unité (identifié à l’élément 1 de K). Si l’on pose $X = e_1$, on a $e_n = X^n$ pour $n \geq 1$, de sorte que les éléments de E s’écrivent $\alpha_0 + \alpha_1 X + \cdots + \alpha_n X^n$, avec la règle de multiplication

On note cet anneau $K[X; \sigma, d]$ et on dit que c’est l’anneau de polynômes non commutatifs en X à coefficients dans K, relatif à $\sigma$ et d. Pour un élément $z = \sum_j \alpha_j X^j$ de E non nul, le degré $\deg(z)$ est le plus grand entier j tel que $\alpha_j \neq 0$.

a) Montrer que si $u, v$ sont deux éléments $\neq 0$ de E, on a:

En outre si $\deg(u) \geq \deg(v)$, il existe deux éléments $w, r$ de E tels que $u = uv + r$ et, ou bien $r = 0$, ou bien $\deg(r) < \deg(v)$ (« division euclidienne » dans E).

b) Inversement, soit R un anneau, tel qu’il existe une application $u \mapsto \deg(u)$ de l’ensemble R’ des éléments $\neq 0$ de R dans $\mathbf{N}$, vérifiant les conditions de a). Montrer que l’ensemble K formé de 0 et des éléments $u \in R$ non nuls tels que $\deg(u) = 0$ est un corps (non nécessairement commutatif). Si $K \neq R$ et si $x$ est un élément de R pour lequel l’entier $\deg(x) > 0$ est le plus petit possible, montrer que tout élément de R s’écrit d’une seule manière sous la forme $\sum_j \alpha_j x^j$ avec $\alpha_j \in K$. (Pour voir que tout élément de R est de cette forme, raisonner par l’absurde en considérant un élément $u \in R$ non de cette forme et pour lequel $\deg(u)$ est le plus petit possible.) Prouver qu’il existe un endomorphisme $\sigma$ de K et une ($\sigma, 1_K$)-dérivation d de K tels que l’on ait $x \alpha = \sigma(\alpha)x + d\alpha$ pour tout $\alpha \in K$. En déduire que R est isomorphe à un corps ou à un anneau $K[X; \sigma, d]$.