Bài tập 18, § 2

Cho $K$ là một trường giao hoán và $K[X]$ là vành các đa thức theo một bất định trên $K$. Hãy chứng minh rằng mọi tự đẳng cấu $s$ của vành $K[X]$ giữ bất biến $K$ (Bài tập 14(c)) và cảm sinh trên $K$ một tự đẳng cấu của trường này; hơn nữa hãy chứng minh rằng nhất thiết $s(X) = aX + b$, với $a \neq 0$ trong $K$ và $b \in K$ (xem Bài tập 17). Ngược lại, hãy chứng minh rằng việc cho một tự đẳng cấu $\sigma$ của $K$ và hai phần tử $a, b$ của $K$ sao cho $a \neq 0$ xác định duy nhất một tự đẳng cấu $s$ của $K[X]$ sao cho $s|K = \sigma$ và $s(X) = aX + b$. Nếu $G$ là nhóm gồm tất cả các tự đẳng cấu của vành $K[X]$ và $N$ là nhóm con của $G$ gồm cấu trúc đại số-$K$ của $K[X]$, hãy chứng minh rằng $N$ là một nhóm con chuẩn tắc của $G$ và rằng $G/N$ đẳng cấu với nhóm tự đẳng cấu của trường $K$; nhóm $N$ đẳng cấu với nhóm xác định trên tập hợp $K^* \times K$ bởi luật hợp thành $(\lambda, \mu)(\lambda', \mu') = (\lambda \lambda', \lambda' \mu + \mu')$.