Exercice 18, § 2

Soient $K$ un corps commutatif, $K[X]$ l’anneau des polynômes à une indéterminée sur $K$. Montrer que tout automorphisme $s$ de l’anneau $K[X]$ laisse invariant $K$ (III, p. 181, exerc. 14 c)) et induit sur $K$ un automorphisme de ce corps; en outre, montrer qu’on a nécessairement $s(X) = aX + b$, avec $a \neq 0$ dans $K$ et $b \in K$ (cf. exerc. 17). Réciproquement, montrer que la donnée d’un automorphisme $\sigma$ de $K$ et de deux éléments $a, b$ de $K$ tels que $a \neq 0$ définit un automorphisme $s$ de $K[X]$ et un seul tel que $s | K = \sigma$ et $s(X) = aX + b$. Si $G$ est le groupe de tous les automorphismes de l’anneau $K[X]$, $N$ le sous-groupe de $G$ formé des automorphismes de la structure de $K\text{-algèbre}$ de $K[X]$, montrer que $N$ est un sous-groupe distingué de $G$ et que $G/N$ est isomorphe au groupe des automorphismes du corps $K$; le groupe $N$ est isomorphe au groupe défini sur l’ensemble $K^* \times K$ par la loi de composition $(\lambda, \mu)(\lambda', \mu') = (\lambda \lambda', \lambda' \mu + \mu')$.