Bài tập 21, § 2

Cho $S$ là một đơn vị vị nhân với phần tử đơn vị $e$, thỏa mãn điều kiện (D) của No. 10 và còn thỏa mãn hai điều kiện sau: (1) quan hệ $st = e$ kéo theo $s = t = e$: (2) với mọi $s \in S$, số $n$ các phần tử trong một dãy hữu hạn $(t_i)_{1 \leq i \leq n}$ gồm các phần tử phân biệt với $e$ và sao cho $t_1 t_2 \ldots t_n = s$ nhỏ hơn một số hữu hạn $\nu(s)$ chỉ phụ thuộc vào $s$.

Chứng minh rằng, để một phần tử $x = \sum_{s \in S} \alpha_s s$ của đại số toàn phần của $S$ trên một vành $A$ là khả nghịch, điều kiện cần và đủ là $\alpha_e$ khả nghịch trong $A$ (rút gọn về trường hợp $\alpha_e = 1$ và sử dụng đồng nhất thức