Exercice 21, § 2

Soit $S$ un monoïde multiplicatif d’élément neutre $e$, vérifiant la condition (D) de III, p. 27, et satisfaisant en plus aux deux conditions suivantes: 1° la relation $st = e$ entraîne $s = t = e$; 2° pour tout $s \in S$ le nombre $n$ de termes d’une suite finie $(t_i)_{1 \leq i \leq n}$ d’éléments distincts de $e$ et tels que $t_1 t_2 \ldots t_n = s$, est inférieur à un nombre fini $\nu(s)$ ne dépendant que de $s$.

Montrer que, pour qu’un élément $x = \sum_{s \in T} \alpha_s s$ de l’algèbre large de $S$ sur un anneau $A$ soit inversible, il faut et il suffit que $\alpha_e$ soit inversible dans $A$ (se ramener au cas où $\alpha_e = 1$ et utiliser l’identité $e - z^{n+1} = (e - z)(e + z + \cdots + z^n)$).

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