Bài tập 5, § 5

Cho E là một không gian vectơ trên một trường giao hoán K và gọi $T(E)$ là đại số tenxơ của E.

(a) Chứng minh rằng $T(E)$ không chứa ước của 0 nào và các phần tử khả nghịch duy nhất trong $T(E)$ là các vô hướng $\neq 0$. Nếu $\dim(E) > 1$ thì $T(E)$ là một đại số trên K không giao hoán.

(b) Gọi $u, v$ là hai phần tử của $T(E)$. Chứng minh rằng, nếu tồn tại hai phần tử $a, b$ của $T(E)$ sao cho $ua = vb \neq 0$, thì một trong hai phần tử $u, v$ là một bội phải của phần tử kia. (Trước hết xét trường hợp $u$ và $v$ là thuần nhất; rút gọn về trường hợp E là hữu hạn chiều và viết $u = e_1u_1 + \cdots + e_nu_n$, $v = e_1v_1 + \cdots + e_nv_n$, trong đó $(e_k)$ là một cơ sở của E. Kết luận bằng cách lập luận quy nạp theo bậc nhỏ nhất của các thành phần thuần nhất của $ua$.) Suy ra rằng, nếu $\dim(E) > 1$, vành $T(E)$ không có trường phân thức trái nào (I, § 9, Bài tập 15).

(c) Chứng minh rằng để hai phần tử khác không $u, v$ của $T(E)$ giao hoán với nhau, điều kiện cần và đủ là tồn tại một vectơ $x \neq 0$ trong E sao cho $u$ và $v$ thuộc đại số con của $T(E)$ sinh bởi $x$ (dùng (b)). Suy ra rằng, nếu $\dim(E) > 1$, tâm của $T(E)$ bằng K.