Exercice 5, § 5

Soit E un espace vectoriel sur un corps commutatif K, et soit $\mathbf{T}(E)$ l’algèbre tensorielle de E. a) Montrer que $\mathbf{T}(E)$ ne contient pas de diviseur de 0 et que les seuls éléments inversibles de $\mathbf{T}(E)$ sont les scalaires $\neq 0$. Si $\dim(E) > 1$, $\mathbf{T}(E)$ est une K-algèbre non commutative. b) Soient $u, v$ deux éléments de $\mathbf{T}(E)$. Montrer que s’il existe deux éléments $a, b$ de $\mathbf{T}(E)$ tels que $ua = vb \neq 0$, l’un des éléments $u, v$ est multiple à droite de l’autre (Considérer d’abord le cas où $u$ et $v$ sont homogènes; se ramener au cas où E est de dimension finie et écrire $u = e_1u_1 + \cdots + e_nu_n, v = e_1v_1 + \cdots + e_nv_n$, où $(e_k)$ est une base de E. Conclure en raisonnant par récurrence sur le plus grand degré des composantes homogènes de $ua$.) En déduire que si $\dim(E) > 1$, l’anneau $\mathbf{T}(E)$ n’admet pas de corps des fractions à gauche (I, p. 155, exerc. 15). c) Montrer que pour que deux éléments non nuls $u, v$ de $\mathbf{T}(E)$ soient permutables, il faut et il suffit qu’il existe un vecteur $x \neq 0$ dans E tel que $u$ et $v$ appartiennent à la sous-algèbre de $\mathbf{T}(E)$ engendrée par $x$ (utiliser b)). En déduire que si $\dim(E) > 1$, le centre de $\mathbf{T}(E)$ est égal à K.