Bài tập 5, § 1

Cho $u \in A[(X_i)_{i \in I}]$ và r là một số nguyên $\geqslant 0$, và giả sử rằng trong A, với mỗi $n > 0$, quan hệ $n\xi = 0$ kéo theo $\xi = 0$. Nếu ta có quan hệ

thì $u$ là thuần nhất bậc r.

16) Cho $K$ là một trường giao hoán, $l$ một tập hợp và $L$ là đại số kết hợp tự do trên tập hợp $l$ trên vành $K$ (III, p. 448, Def. 2) với phân bậc được định nghĩa ở III, p. 458. Ta định nghĩa bậc của một phần tử của $L$ và khái niệm phần tử thuần nhất như ở IV, p. 2. a) Chứng minh rằng $\deg(uv) = \deg(u) + \deg(v)$ và $\deg(u + v) \leq \sup(\deg(u), \deg(v))$ với $u, v \in L$. b) Cho $u, v, q, q' \in L$ sao cho $\deg(u) \geq \deg(v)$ và $\deg(qu - q'v) < \deg(qu)$; chứng minh rằng tồn tại $q'' \in L$ sao cho $\deg(u - q''v) < \deg(u)$. c) Cho $u, v, q, q' \in L$ với $\deg u \geq \deg v > \deg(qu - q'v)$; chứng minh rằng tồn tại $q'' \in L$ sao cho $\deg(u - q''v) < \deg v$. d) Cho $u, v, u', v' \in L$, thuần nhất và sao cho $uv = u'v'$ và $\deg v \geq \deg v' \geq 0$; chứng minh rằng tồn tại $t \in L$ sao cho $u' = ut, v = tv'$. e) Cho $u, v \in L$, thuần nhất, sao cho $uv = vu$, chứng minh rằng tồn tại $w \in L, a, b \in K$ và $m, n \in K$ sao cho $u = aw^m, v = bw^n$. f) Cho $u, v \in L$ sao cho tồn tại $a, b \in L$, khác không, với $au = bv$; chứng minh rằng tồn tại $m, d \in L$ sao cho các bội trái (tương ứng, các ước phải) chung của $u$ và $v$ là các bội trái (tương ứng, các ước phải) của $m$ (tương ứng, $d$).