Bài tập 13, § 2

Cho $\alpha_i$ ($1 \leq i \leq n$) là $n$ phần tử phân biệt của một trường giao hoán $K$, $\beta_i$ ($1 \leq i \leq n$) và $\gamma_i$ ($1 \leq i \leq n$) là $2n$ phần tử tùy ý của $K$. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một và chỉ một đa thức $f \in K[X]$, có bậc $\leq 2n - 1$, sao cho $f(\alpha_i) = \beta_i$ và $f'(\alpha_i) = \gamma_i$ với $1 \leq i \leq n$ (công thức nội suy Hermite) (bắt đầu bằng cách xét trường hợp $2n - 1$ trong số $2n$ phần tử $\beta_i, \gamma_i$ là không).