Exercice 13, § 2

Soient $\alpha_i$ ($1 \leq i \leq n$) $n$ éléments distincts d’un corps commutatif $K$, $\beta_i$ ($1 \leq i \leq n$) et $\gamma_i$ ($1 \leq i \leq n$) $2n$ éléments quelconques de $K$. Montrer qu’il existe un polynôme et un seul $f \in K[X]$, de degré $\leq 2n - 1$, tel que $f(\alpha_i) = \beta_i$ et $f'(\alpha_i) = \gamma_i$ pour $1 \leq i \leq n$ (formule d’interpolation d’Hermite) (commencer par considérer le cas où $2n - 1$ des $2n$ éléments $\beta_i, \gamma_i$ sont nuls).