Bài tập 6, § 10

Cho N là một mở rộng Galois của một trường K, có bậc vô hạn, và cho $\rho, a$ là hai phần tử phân biệt của $\mathrm{Gal}(N/K)$. Nếu J là tập hợp các $x \in N$ sao cho $\rho(x) \neq \sigma(x)$, hãy chứng minh rằng $K(J)$ là một mở rộng của K có bậc vô hạn. (Hãy nhận xét rằng một trường không thể là hợp của hai trường con của nó trừ khi nó bằng một trong hai trường đó.)