Bài tập 34, § 1

Cho $G = \mathbf{Z}^\mathbf{N}$ là tích của một họ vô hạn đếm được các nhóm có thứ tự toàn phần $\mathbf{Z}$, và $H = \mathbf{Z}^{(\mathbf{N})}$ là nhóm con lồi lọc, tổng trực tiếp của các thừa số của G. Chứng minh rằng nhóm có thứ tự dàn $G/H$ (VI, p. 30, Bài tập 4) không phải là Archimedean, mặc dù G và H đều có thứ tự dàn hoàn toàn.

T 35) Một tập hợp chính A trong một nhóm có thứ tự G được gọi là sinh hữu hạn nếu tồn tại một tập hợp hữu hạn F sao cho $A = (F)$. Ta nói rằng G là nửa Archimedean nếu mọi tập hợp chính sinh hữu hạn đều khả nghịch trong monoid $\mathscr{M}(G)$. Mọi nhóm có thứ tự dàn (tương ứng Archimedean) đều là nửa Archimedean (Bài tập 31, a)). a) Chứng minh rằng mọi nhóm lọc nửa Archimedean đều có thứ tự dàn (nếu $nx \geq 0$, xét tập hợp chính $(F)$, trong đó $F = \{0, x, ..., (n-1)x\}$, và sử dụng Bài tập 30, g) cùng với sự kiện rằng nó khả nghịch). b) \* Cho K là tích từ điển $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$, và G là nhóm tích (thông thường) $K \times \mathbf{R}$. Cho 0 là một số vô tỉ sao cho $0 < 0 < 1$, và cho H là nhóm con sinh bởi ((1, 0), 0), ((0, 0), 8) và ((0, x), 0) trong đó x chạy qua $\mathbf{R}$. Chứng minh rằng H, một nhóm con của một tích của hai nhóm có thứ tự toàn phần, không phải là nửa Archimedean (xét tập hợp chính sinh bởi hai phần tử ((1, 0), 0) và ((0, 0), 0) của H, và chứng minh rằng nó không khả nghịch). \* c) Cho G là một nhóm lọc nửa Archimedean; chứng minh rằng monoid con của $\mathfrak{M}(G)$ sinh bởi các tập hợp chính sinh hữu hạn và các nghịch đảo của chúng là một nhóm có thứ tự dàn (xem VI, p. 31, Bài tập 13, b)). d) \* Cho $0 > 0$ là một số vô tỉ, và cho G là nhóm $Z \times Z$ trong đó tập hợp P gồm các phần tử dương được lấy là tập hợp các (x, y) sao cho $x \geq 0$ và $y \geq 0x$. Chứng minh rằng G là một nhóm Archimedean, nhưng nghịch đảo trong $\mathfrak{M}(G)$ của một tập hợp chính sinh hữu hạn, không có dạng (a), không sinh hữu hạn. \*

36) Cho G là một nhóm lọc với các phần tử dương P. Khi đó G đẳng cấu với một nhóm có dạng $\mathbf{Z}^{(1)}$ khi và chỉ khi tồn tại một ánh xạ $x \mapsto d(x)$ từ P vào N sao cho, với mọi b, hoặc $b \geq a$ hoặc tồn tại một phần tử c trong tập hợp chính (a, b) sao cho $d(c) < d(a)$. (Chứng minh rằng điều kiện này được thỏa mãn trong $\mathbf{Z}^{(1)}$ bởi ánh xạ $d(x_i) = \sum x_i$ (khi $x_i > 0$ với mọi i).

Ngược lại, nếu điều kiện được thỏa mãn, chứng minh rằng mọi tập hợp chính $A \subset P$ đều có dạng (a), bằng cách lấy một phần tử a của A sao cho $d(a) \leq d(x)$ với mọi $x \in A$. Áp dụng Định lý 2 của VI, p. 18.)