Bài tập 15, § 1

Một số có dạng $2^k + 1$ ($k \geq 1$ là một số nguyên) chỉ có thể là một số nguyên tố nếu k là một lũy thừa của 2. Nếu một số nguyên tố p chia hết cho $2^{2^n} + 1$, thì nó không thể chia hết cho $2^{2^m} + 1$ với $m > n$ ($2^{2^m} \equiv 1(p)$); dùng điều này để đưa ra một chứng minh mới của Mệnh đề 5. Chứng minh rằng $2^{2^5} + 1$ không phải là số nguyên tố (đặt $a = 2^7$ và $b = 5$; chứng minh rằng $1 + ab - b^4 = 2^4$ và rằng $1 + ab$ chia hết cho

16) Một số có dạng $a^k - 1$ (a và k là các số nguyên, $a > 0,\ k > 1$) chỉ có thể là số nguyên tố nếu $a = 2$ và k là số nguyên tố.

17) Chứng minh rằng nếu $a^n + 1$ là số nguyên tố, trong đó $a > 1$ và $n > 1$, thì a là chẵn và $n = 2^m$.

18) Cho M là môđun nhân được sinh bởi một số hữu hạn các số nguyên $q_i > 1$ ($1 \leq i \leq m$). Chứng minh rằng, với mỗi số nguyên $k > 0$, tồn tại k số nguyên liên tiếp không thuộc M (nếu $h_1, \ldots, h_m$ là m số nguyên > 1, và k là số lớn nhất của các số nguyên liên tiếp mà không có số nào chia hết cho bất kỳ một trong các $h_i$, thì $(k + 1)^1 \leq h_1^{-1} + \ldots + h_m^{-1}$; bây giờ nhận xét rằng, với mọi $r > 0$, mọi số đủ lớn trong M đều chia hết cho ít nhất một $q_i^+$). Thu được một chứng minh mới của Mệnh đề 5 của VII, p. 5 từ kết quả này.

19) Với mọi số nguyên $n > 0$, chứng minh rằng số mũ của một số nguyên tố p trong phân tích thành thừa số nguyên tố của $n!$ là $\sum_{k=1}^{\infty} [np^{-k}]$ (chỉ có hữu hạn số hạng khác không).

20) \* Cho $\pi(x)$ là số các số nguyên tố nhỏ hơn số thực $x > 0$. Với mỗi số nguyên $n > 0$, chứng minh rằng

(nhận xét rằng $\binom{2n}{n}$ là một bội của tích tất cả các số nguyên tố q sao cho $n < q \leq 2n$); mặt khác, dùng Bài tập 19 để chứng minh rằng $\binom{2n}{n}$ chia hết cho tích $\prod p^{r(p)}$, trong đó p chạy qua tập hợp các số nguyên tố $\leq 2n$, và $r(p)$ là số nguyên lớn nhất sao cho $p^{r(p)} \leq 2n$. Suy ra từ kết quả này rằng tồn tại hai số thực a và b sao cho $0 < a < b$ và (nhận xét rằng $2^{2n}(2n + 1)^1 \leq (2n)!/(n!)^{-2} \leq 2'''$).

1 Người ta đã chứng minh rằng $\pi(x) \sim \frac{x}{\log x}$ khi x tiến tới $+ \infty$ (xem chẳng hạn A. E. Ingham, The distribution of prime numbers (Cambridge tracts, No. 30), Cambridge University Press, 1932).

BÀI TẬP

21) Chứng minh rằng với $m \geq 1$ và $n \geq 1$, số hữu tỉ $\sum_{k=n}^{n+m} k^{-1}$ không bao giờ là một số nguyên (nếu $2^q$ là lũy thừa lớn nhất của 2 chia hết cho ít nhất một trong các số $n, n+1, \ldots, n+m$, thì nó chỉ chia hết cho một trong các số này).

22) Cho a và b là hai số nguyên $> 0$, cho d là ước chung lớn nhất của a và b, và cho n là một số nguyên $\geq 1$; đặt $a = da_1$ và $b = db_1$; hãy chỉ ra rằng mẫu số trong biểu thức tối giản của phân số $a(a+b) \ldots (a+(n-1)b)/n!$ chỉ có các thừa số nguyên tố chia hết b, và $\leq n$ (nhận xét rằng nếu p là một số nguyên tố không chia hết b,, thì $b_1$ khả nghịch mod $p^r$ với mọi $r > 0$). Từ đó hãy thu được một chứng minh trực tiếp của sự kiện rằng các hệ số nhị thức $n!/(rn!(n-rn)! )$ là các số nguyên.

23) Cho $n > 1$ là một số nguyên hữu tỉ; hãy chỉ ra rằng ước chung lớn nhất của $n-1$ hệ số nhị thức $\binom{n}{k}$ ($1 \leq k \leq n-1$) bằng 1 nếu n chia hết cho hai số nguyên tố phân biệt, và bằng p nếu n là một lũy thừa của số nguyên tố p.

24) a) Cho $n = \prod_k p_k^{v_k} > 0$ là một số nguyên hữu tỉ được biểu diễn theo các thừa số nguyên tố của nó. Hãy chỉ ra rằng tổng các ước dương của n được cho bởi công thức

b) Ta nói rằng n là hoàn hảo nếu $2n = \sigma(n)$. Hãy chỉ ra rằng một số chẵn n là hoàn hảo khi và chỉ khi nó có dạng $2^h(2^{h+1}-1)$, trong đó $h \geq 1$ và $2^{h+1}-1$ là nguyên tố. (Nếu n có dạng $2^m q$, trong đó $m \geq 1$ và q là lẻ, hãy chỉ ra rằng q chia hết cho $2^{m+1}-1$, và suy ra rằng, nếu q không là nguyên tố, thì ta có $\sigma(n) > 2n$).

25) Cho a và b là hai số nguyên nguyên tố cùng nhau $> 0$. Nếu a và b $> 2$, thì tồn tại các số nguyên x và y sao cho ax + by = 1 và $|x| < 1/2$ b, $|y| < 1/2$ a ; hơn nữa các số nguyên x và y được xác định duy nhất bởi các điều kiện này. Điều gì xảy ra trong trường hợp một trong a, b bằng 2?

26) Cho x, y là hai số nguyên nguyên tố cùng nhau ; khi đó mọi số nguyên z sao cho $|z| < |xy|$ có thể được biểu diễn, theo một hoặc hai cách, dưới dạng $z = ux + vy$ trong đó u và v là các số nguyên với $|u| < |y|$ và $|v| < |x|$. Nếu z có thể được biểu diễn theo hai cách khác nhau dưới dạng này, thì cả x lẫn y đều không thể chia hết z ; ví dụ $x = 5, y = 7, z = 12$ chỉ ra rằng điều đảo lại không đúng.

27) Cho f và g là hai đa thức nguyên tố cùng nhau trong $K[X]$; hãy chỉ ra rằng mọi đa thức h sao cho $\deg(h) < \deg(fg)$ đều có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng $h = uf + vg$ trong đó u và v là các đa thức sao cho $\deg(u) < \deg(g)$ và $\deg(v) < \deg(f)$. Trước hết hãy cho một chứng minh tương tự như chứng minh của Bài tập 26 (dựa trên thuật toán Euclid), sau đó hãy cho một chứng minh trong đó bài toán được xem như một bài toán tuyến tính.

28) a) Cho K là một trường giao hoán đóng đại số, cho f là một đa thức đơn khởi không hằng trong $K[X]$, và cho g là một đa thức trong $K[X, Y]$; giả sử rằng với mỗi nghiệm α_i của f tồn tại một nghiệm β_i của g(α_i, Y) = 0 sao cho $\frac{\partial g}{\partial Y}(\alpha_i, \beta_i) \neq 0$. Khi đó hãy chỉ ra rằng tồn tại một đa thức h(X) ∈ K[X] sao cho g(X, h(X)) ≡ 0 (mod f(X)). (Dùng Mệnh đề 4, quy về trường hợp f(X) = X^m (với một số m ≥ 1); chú ý rằng vành K[X]/(X^m) đẳng cấu với vành thương K[[X]]/(X^m), và dùng Hệ quả của IV, p. 37). b) Đặc biệt hãy chỉ ra rằng nếu m là một số nguyên không chia hết cho đặc số của K, thì với mọi cặp đa thức đơn khởi nguyên tố cùng nhau f và f_0 trong K[X], tồn tại một đa thức h(X) trong K[X] sao cho (h(X))^m ≡ f_0(X) (mod f(X)).