Bài tập 10, § 2

u) Cho $M$ là một môđun nguyên sơ $n$ với không có phần tử khác không nào có chiều cao vô hạn và cho $N$ là một môđun con thuần của $M$ sinh bởi một họ giả tự do cực đại của các phần tử của $M$ (Ex. 4 và 7, b)). Chứng minh rằng $M/N$ là một môđun chia được (lập luận phản chứng, áp dụng Ex. 8, c), Ex. 7, c), Ex. 7, b), và cuối cùng Ex. 4, c)).

b) Xét tôpô mêtric $\mathscr{T}$ trên M được xác định bằng cách lấy các môđun con $\pi^n M$ với mọi số nguyên $n \geq 0$ làm cơ sở các lân cận của 0 (Gen. Top., III, p. 5). Khi đó thương $M/P$ của M theo một môđun con P là chia được khi và chỉ khi P trù mật khắp nơi trong M đối với tôpô $\mathscr{T}$.

c) Cho $P_1, P_2$ là hai môđun con của M thuần, trù mật khắp nơi trong M đối với tôpô $\mathscr{T}$, và là các tổng trực tiếp của các môđun con cyclic. Chứng minh rằng $P_1$ và $P_2$ đẳng cấu (chú ý rằng $P_1 / \pi^n P_1$ đẳng cấu với $M / \pi^n M$ với mọi n).

d) Cho M là phần hoàn thiện của M đối với tôpô $\mathscr{T}$ (Gen. Top., III, p. 24). Chứng minh rằng $x \mapsto \alpha x$ là một cấu xạ ngặt từ M lên $\alpha \hat{M}$ với mọi $a \in A$, rằng $\pi^n \hat{M}$ là một môđun con vừa mở vừa đóng, và là bao đóng của $\pi^n M$, với mọi $n$, và rằng các môđun thương $\hat{M} / \pi^n \hat{M}$, $M / \pi^n M$ đẳng cấu.

e) Cho M là môđun con xoắn của $\dot{M}$: chứng minh rằng M là một môđun =-nguyên sơ, rằng $M = \overline{M}$, và rằng M là một môđun con thuần của M.

f) Giả sử môđun nguyên sơ $\pi$ M là tổng trực tiếp của một họ $(E_i)$ các môđun con cyclic. Khi đó $\mathscr{T}$ là rời rạc khi và chỉ khi linh hóa tử của M là 0. Trong trường hợp này, cho E là môđun tích $\prod E_a$ và cho F là môđun con của E gồm các phần tử mà tất cả trừ đếm được nhiều tọa độ của chúng đều bằng không; chứng minh rằng khi đó M có thể được đồng nhất (như một môđun không tôpô) với môđun con của F gồm các $(x_i)$ sao cho, với mỗi số nguyên $n$, chỉ có hữu hạn chỉ số $\alpha$ mà $x_\alpha \notin \pi^n E_\alpha$. Sau đó chứng minh rằng bốn môđun M, $\hat{M}$, M và F là phân biệt. Suy ra rằng M không phải là một tổng trực tiếp của các môđun cyclic (sử dụng e)), và rằng nó không phải là một tổng trực tiếp của các môđun không phân tích được (chú ý rằng $\overline{M}$ không chứa các phần tử có chiều cao vô hạn, và áp dụng Ex. 8, c)).